¿Qué es el teorema del límite central (CLT)?

El Teorema del límite central (CLT) es un concepto estadístico que establece que la distribución media muestral de una variable aleatoria asumirá una distribución casi normal o normal si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande. En términos simples, el teorema establece que la distribución muestral de la media Media Media es un concepto esencial en matemáticas y estadística. En general, una media se refiere al valor promedio o más común en una colección de enfoques a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra, independientemente de la forma de la distribución de la población original.

Diagrama del teorema del límite central (CLT) que muestra la convergencia a la distribución normal

A medida que el usuario aumenta el número de muestras a 30, 40, 50, etc., el gráfico de las medias de la muestra se moverá hacia una distribución normal. El tamaño de la muestra debe ser 30 o más para que se mantenga el teorema del límite central.

Uno de los componentes más importantes del teorema es que la media de la muestra será la media de toda la población. Si calcula la media de varias muestras de la población, las suma y encuentra su promedio, el resultado será la estimación de la media de la población.

Lo mismo se aplica cuando se usa la desviación estándar. Desviación estándar Desde el punto de vista estadístico, la desviación estándar de un conjunto de datos es una medida de la magnitud de las desviaciones entre los valores de las observaciones contenidas. Si calcula la desviación estándar de todas las muestras de la población, las suma y encuentra el promedio, el resultado será la desviación estándar de toda la población.

¿Cómo funciona el teorema del límite central?

El teorema del límite central forma la base de la distribución de probabilidad. Facilita la comprensión de cómo se comportan las estimaciones de población cuando se someten a muestreo repetido Error de tipo II En la prueba de hipótesis estadísticas, un error de tipo II es una situación en la que una prueba de hipótesis no rechaza la hipótesis nula que es falsa. En otra . Cuando se traza en un gráfico, el teorema muestra la forma de la distribución formada por medio de muestras de población repetidas.

A medida que los tamaños de las muestras aumentan, la distribución de las medias de las muestras repetidas tiende a normalizarse y parecerse a una distribución normal. El resultado sigue siendo el mismo independientemente de la forma original de la distribución. Puede ilustrarse en la siguiente figura:

Teorema del límite central (CLT): cómo surge

De la figura anterior, podemos deducir que a pesar de que la forma original de la distribución era uniforme, tiende hacia una distribución normal a medida que aumenta el valor de n (tamaño de la muestra).

Además de mostrar la forma que tomarán las medias muestrales, el teorema del límite central también ofrece una descripción general de la media y la varianza de la distribución. La media muestral de la distribución es la media poblacional real de la que se tomaron las muestras.

La varianza de la distribución de la muestra, por otro lado, es la varianza de la población dividida por n . Por tanto, cuanto mayor sea el tamaño de muestra de la distribución, menor será la varianza de la media muestral.

Ejemplo de teorema del límite central

Un inversor está interesado en estimar el rendimiento del índice bursátil ABC que se compone de 100.000 acciones. Debido al gran tamaño del índice Dow Jones Industrial Average (DJIA), el Dow Jones Industrial Average (DJIA), también conocido como "el Dow Jones" o simplemente "el Dow", es uno de los más populares y índices bursátiles reconocidos, el inversor no puede analizar cada acción de forma independiente y, en su lugar, elige utilizar un muestreo aleatorio para obtener una estimación del rendimiento general del índice.

El inversor elige muestras aleatorias de las acciones, y cada muestra comprende al menos 30 acciones. Las muestras deben ser aleatorias y las muestras seleccionadas previamente deben reemplazarse en muestras posteriores para evitar sesgos.

Si la primera muestra produce un rendimiento medio del 7,5%, la siguiente muestra puede producir un rendimiento medio del 7,8%. Con la naturaleza del muestreo aleatorio, cada muestra producirá un resultado diferente. A medida que aumente el tamaño de la muestra con cada muestra que elija, las medias muestrales comenzarán a formar sus propias distribuciones.

La distribución de las medias muestrales se moverá hacia la normalidad a medida que aumente el valor de n. El rendimiento promedio de las acciones en el índice de muestra estima el rendimiento del índice completo de 100.000 acciones, y el rendimiento promedio se distribuye normalmente.

Historia del teorema del límite central

La versión inicial del teorema del límite central fue acuñada por Abraham De Moivre, un matemático nacido en Francia. En un artículo publicado en 1733, De Moivre utilizó la distribución normal para encontrar el número de caras resultantes de múltiples lanzamientos de una moneda. El concepto era impopular en ese momento y se olvidó rápidamente.

Sin embargo, en 1812, el concepto fue reintroducido por Pierre-Simon Laplace, otro famoso matemático francés. Laplace reintrodujo el concepto de distribución normal en su trabajo titulado "Théorie Analytique des Probabilités", donde intentó aproximar la distribución binomial con la distribución normal.

El matemático encontró que el promedio de las variables aleatorias independientes, cuando aumenta en número, tiende a seguir una distribución normal. En ese momento, los hallazgos de Laplace sobre el teorema del límite central atrajeron la atención de otros teóricos y académicos.

Más tarde, en 1901, el teorema del límite central fue ampliado por Aleksandr Lyapunov, un matemático ruso. Lyapunov dio un paso adelante para definir el concepto en términos generales y demostrar cómo funcionaba matemáticamente. Las funciones características que usó para proporcionar el teorema fueron adoptadas en la teoría de probabilidad moderna.

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