Dados varios eventos, la regla de la suma de probabilidades se usa para calcular la probabilidad de que ocurra al menos uno de los eventos. La probabilidad se puede definir como la rama de las matemáticas que cuantifica la certeza o incertidumbre de un evento o un conjunto de eventos.
Conceptos relacionados
Antes de comprender la regla de la suma, es importante comprender algunos conceptos simples:
- Espacio muestral : Es el conjunto de todos los eventos posibles. Por ejemplo, al lanzar una moneda, el espacio muestral es {Cara, Cruz} porque cara y cruz son todos los resultados posibles.
- Evento : en probabilidad, un evento se define como un resultado particular. Por ejemplo, lanzar una moneda y sacar cara es un evento.
- Eventos mutuamente excluyentes : Son eventos tales que si uno ocurre, el otro no puede ocurrir. Nuevamente, en el ejemplo de la moneda, si sacamos cara, no podemos sacar cruz. Por lo tanto, los dos son eventos mutuamente excluyentes.
- Eventos mutuamente exhaustivos : eventos que en conjunto abarcan todo el espacio muestral. En caso de lanzar una moneda, obtener cara y cruz son mutuamente exhaustivos, ya que todo el espacio muestral es {Cara, Cruz}.
- Eventos independientes : eventos que ocurren independientemente unos de otros. Por ejemplo, al lanzar dos monedas, el resultado de la segunda moneda es independiente del resultado de la primera moneda.
La fórmula para calcular la probabilidad de dos eventos A y B viene dada por:
Dónde:
- P (A ∪ B) - Probabilidad de que ocurra A o B
- P (A) - Probabilidad del evento A
- P (B) - Probabilidad del evento B
- P (A ∩ B) - Probabilidad de que A y B sucedan juntos
El siguiente diagrama de Venn ilustra cómo y por qué funciona la fórmula:
Como se muestra arriba, restamos el término P (AB) porque se contaría dos veces al sumar P (A) y P (B).
Calcular P (A ∩ B)
La probabilidad de que ocurran los eventos A y B - P (A ∩ B) - se puede calcular fácilmente si los eventos son independientes entre sí multiplicando las dos probabilidades P (A) y P (B) como se muestra a continuación:
Si A y B son eventos independientes, entonces:
Si los eventos A y B no son independientes entre sí, la probabilidad se puede inferir de la naturaleza de los eventos, o es difícil de determinar de otro modo.
Eventos mutuamente excluyentes
En caso de eventos mutuamente excluyentes Eventos mutuamente excluyentes En estadística y teoría de la probabilidad, dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo. El ejemplo más simple de mutuamente excluyente, la probabilidad de que ambos eventos ocurran a la vez es cero por definición porque si uno ocurre, el otro evento no puede. Por lo tanto, para los eventos A y B mutuamente excluyentes, existe:
Tenga en cuenta el hecho de que los eventos mutuamente excluyentes no son independientes porque si tanto P (A) como P (B) son probabilidades distintas de cero, entonces P (AB) = P (A) * P (B) no puede ser cero. De hecho, por su propia definición de eventos mutuamente excluyentes, dependen de que el otro evento no ocurra. El siguiente diagrama ilustra el concepto:
Ejemplo numérico
Pasemos a un ejemplo numérico que ilustra el concepto. Suponga dos eventos independientes, A y B. Sea P (A) = 0.6 y P (B) = 0.4. Entonces P (A ∪ B) viene dado por:
- P (A) = 0,6
- P (B) = 0,4
P (A ∩ B) = P (A) * P (B) = 0.6 * 0.4 = 0.24
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (AB) = 0.6 + 0.4 - 0.24 = 0.76
Por tanto, P (A ∪ B) es 76% .
Reglas derivadas
La regla de la suma para las probabilidades produce algunas otras reglas que se pueden usar para calcular otras probabilidades.
Eventos mutuamente excluyentes
Para eventos mutuamente excluyentes, la probabilidad conjunta P (A ∪ B) = 0. Por lo tanto, obtenemos:
Probabilidad para exactamente uno de dos eventos
La probabilidad de exactamente uno de dos eventos se puede calcular simplemente modificando la regla de la suma de la siguiente manera:
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